[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.ÿþ3.DEFINIOWANIE3.POJ
CIE DEFINIOWANIAW języku pierwszego rzędu, czyli w języku rachunku predykatówtak jak go opisaliśmy, definiować można litery predykatowe, stałe in-dywiduowe i litery funkcyjne.W naszych rozważaniach ograniczymysię przede wszystkim do definicji, które znaczenia symboli definiowa-nych charakteryzują w języku teorii, a więc szczegółowiej rozważymywypadek wprowadzania nowych symboli jako wygodnych skrótów dlazłożonych wyrażeń74.Przez teorię będziemy tu rozumieli dowolny zbiór formuł językapierwszego rzędu domknięty na reguły wynikania, czyli taki zbiór, doktórego należą wszystkie i tylko te formuły, które mają w nim do-wód.W szczególności takim zbiorem jest zbiór formuł prawdziwychprzy jakiejś interpretacji tego języka, czyli zbiór zdań prawdziwychw określonym modelu75.Tam, gdzie mówi się o modelu teorii zwyklema się na uwadze zdania, czyli formuły nie zawierające zmiennychwolnych.Każdej formule odpowiada zdanie, które z niej otrzymu-jemy poprzez poprzedzenie jej kwantyfikatorami ogólnymi wiążącymiwszystkie występujące w niej zmienne wolne.Teoria może być określona przez podanie jej aksjomatów.Wów-czas elementami teorii są wszystkie i tylko te formuły, które mają74Warto odnotować, że po raz pierwszy reguły definiowania zostały sformuło-wane przez polskiego logika Stanisława Leśniewskiego [1931].75Zbiór wszystkich formuł prawdziwych w jakiejś dziedzinie jest domknięty nareguły wynikania.Jest tak dlatego, że wynikanie syntaktyczne zachowuje stosunekwynikania semantycznego (twierdzenie o pełności)  z prawdziwych formuł niemożna poprawnie udowodnić zdania fałszywego.206 3.DEFINIOWANIEdowód z jej aksjomatów.Aksjomat to więc element pewnej wyróżnio-nej klasy zdań (formuł) określonego języka.Mając jakąś teorię, np.scharakteryzowaną jako zbiór wszystkichi tylko zdań prawdziwych w określonej dziedzinie, można pytać się ojej aksjomatyzowalność, czyli taki zbiór zdań-aksjomatów, z któregodałoby się udowodnić wszystkie i tylko formuły składające się na tęteorię.Zwykle chodzi o to, aby rozstrzygalne było pytanie, czy jakieśzdanie jest aksjomatem.Na zbiór aksjomatów można też nakładaćinne warunki, np.skończoność.3.1.DEFINIOWANIE LITER PREDYKATOWYCHREGUA
A DEFINIOWANIA LITER PREDYKATOWYCHNiech T bÄ™dzie teoriÄ…, zaÅ› P (n +1)-argumentowÄ… literÄ… predyka-towÄ… nie należącÄ… do jÄ™zyka tej teorii.RównoważnośćPv0.vn Ô! Õna gruncie teorii T jest poprawnÄ… definicjÄ… (n +1)-argumentowejlitery predykatowej P wtedy i tylko wtedy, gdy(a) w formule (atomowej) Pv0.vn żadna ze zmiennych v0,., vnnie wystÄ™puje wiÄ™cej niż jednokrotnie, czyli vi = vj, jeÅ›li i = j,0 d" i, j d" n;(b) Õ jest formuÅ‚Ä… jÄ™zyka teorii T (czyli nie wystÄ™puje w niejlitera predykatowa P );(c) zmienne wystÄ™pujÄ…ce w Õ jako wolne znajdujÄ… siÄ™ wÅ›ródzmiennych v0,., vn (odwrotnie nie musi zachodzić).W tradycyjnej terminologi Pv0.vn okreÅ›la siÄ™ jako definienduma Õ jako definiens.PRZYKA
ADZ artytmetyki znamy literę predykatową  d".W języku, w któ-rym występują litery predykatowe  [ Pobierz całość w formacie PDF ]